গণিত সিরিজ/ধারা (সূত্রাবলী)

Formula:
১. 1+2+3+4+......+ n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি = [n(n+1)/2]
২. প্রথম n পদের বর্গের সমষ্টি = [n(n+1)2n+1)/6]

৩. প্রথম n পদের ঘনের সমষ্টি = [n(n+1)/2]2
৪. পদ সংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] + ১
৫. সমষ্টি = [(১ম পদ + শেষ পদ)/২] x পদসংখ্যা
৬. n তম পদ = a + (n-1)d ‌এখানে, n = পদসংখ্যা, a = ১ম পদ, d = সাধারণ অন্তর
৭. n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2[2a+(n-1)d]
৮. ১ম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n2
৯. ১ম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)
১০. ১ম n সংখ্যক ক্রমিক ধারার গড় = (১ম পদ + শেষ পদ)/2

গুরুত্বপূর্ণ সমাধান:
* 1+2+3+4+…………+100 = ?
Solu: [n(n+1)/2] = [100(100+1)/2] = 5050
* 1^2+2^2+3^2+42+…………+50^2 = ?
Solu: [n(n+1)2n+1)/6] = [50(50+1)2x50+1)/6] = 42925
* 1^3+2^3+3^3+4^3+…………+10^3 = ?
Solu: [n(n+1)/2]2 = [10(10+1)/2]2 = 3025
* log2 + log4 + log8 + … ধারার 10টি পদের সমষ্টি কত?
Solu: log2 + log22 + log23 + … + log210
= (1+2+3+ … + 10)log2 = [10(10+1)/2] log2 = 55log2
* 5+10+15+…………+50 =?
Solu: পদসংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] + ১ = [(50 – 5)/5] + 1 = 10
সুতরাং, সমষ্টি = [(5 + 50)/2] x 10 = 275
* পরপর ১০টি সংখ্যা দে3য়া দেয়া আছে, ১ম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?
উত্তর: ৫৬০ + ৫২ = ৫৮৫
* পরপর ৬টি সংখ্যা দেয়া আছে, শেষ ৩টির যোগফল ৩৬ হলে, প্রথম ৩টির যোগফল কত?
উত্তর: ৩৬-৩২ = ২৭

Bonus:
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু
* দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে, গ.সা.গু কত?
উত্তর: সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু x গু.সা.গু
বা, ১৫৩৬ = ৯৬ x গু.সা.গু
সুতরাং, গু.সা.গু = ১৬
* একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মি. পেছনের চাকার পরিধি ৪ মি.। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
উত্তর: ৩ x ৪ x ১০০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি.